Алгебра 2018/2019 ПИ

Преподаватели

Группа 181 182 183 184 185 186
Лектор Чернышев Всеволод Леонидович
Семинарист Чернышев Всеволод Леонидович Пионтковский Дмитрий Игоревич Пионтковский Дмитрий Игоревич Пионтковский Дмитрий Игоревич Медведь Никита Юрьевич Пионтковский Дмитрий Игоревич

Краткое содержание уже прочитанных лекций

Лекция 07.09.2018. Операции над матрицами: сложение, умножение на число, транспонирование и умножение. Свойства операций над матрицами: сложения и умножения на скаляр, транспонирования, умножения. Единичная матрица. Некоммутативность умножения матриц.

Лекция 21.09.2018. Доказательство ассоциативности умножения матриц, доказательство связи умножения и транспонирования. Симметрические и кососимметрические матрицы. Ступенчатый вид матрицы и канонический (улучшенный ступенчатый) вид матрицы. Элементарные преобразования строк матрицы. Теорема о методе Гаусса.

Лекция 21.09.2018 (продолжение). Системы линейных алгебраических уравнений. Главные и свободные переменные. Общий вид решения системы линейных алгебраических уравнений.

Перестановки и подстановки. Инверсии. Транспозиции. Знак и чётность перестановки и подстановки. Умножение подстановок. Свойства умножения подстановок. Общая формула для определителя произвольного порядка. Свойства определителя, в частности: определитель транспонированной матрицы.

Лекция 28.09.2018. Свойства определителя, в частности: линейность, кососимметричность. Вычисление определителя матрицы порядка 3. Утверждение о том, что кососимметричность для линейной функции эквивалентна обнулению на паре совпадающих элементов. Утверждение о том, что любая функция от столбцов матрицы является определителем, если она линейна по каждому аргументу, кососимметрична и принимает значение 1 на единичной матрице. Доказательство этого утверждения для случая квадратной матрицы 2-го порядка.

Лекция 05.10.2018. Свойства определителя, в частности: разложение определителя по строке (столбцу) и фальшивое разложение, вычисление определителя верхнетреугольной матрицы. Дополняющий минор, алгебраическое дополнение. Определитель произведения двух квадратных матриц. Способы вычисления определителей. Формулы Крамера для квадратной матрицы произвольного порядка.

Лекция 12.10.2018. Обратная матрица. Единственность обратной матрицы. Критерий существования и формула для нахождения обратной матрицы. Союзная матрица. Матрица обратная к произведению матриц и матрица обратная к транспонированной матрице. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований. Матричные уравнения AX = B, XA = B. Минор. Ранг матрицы. Базисный минор.

Лекция 19.10.2018. Определение линейной комбинации строк. Линейная зависимость строк (столбцов). Линейно независимые строки. Критерий линейной зависимости. Два свойства ранга матрицы. Теорема о базисном миноре. Следствия теоремы о базисном миноре (теорема о ранге матрицы и критерий невырожденности квадратной матрицы).

Лекция 02.11.2018. Однородные СЛАУ. Свойства решений однородных и неоднородных систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Фундаментальная система решений (ФСР) однородной системы линейных уравнений. Теорема о существовании ФСР.

Лекция 09.11.2018. Критерий существования ненулевого решения у однородной квадратной системы линейных алгебраических уравнений. Теорема о структуре общего решения однородной системы линейных алгебраических уравнений. Теорема о структуре общего решения неоднородной системы линейных алгебраических уравнений.

Лекция 16.11.2018. Комплексные числа: алгебраическая и тригонометрическая форма записи. Алгебраические свойства сложения и умножения комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Деление комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексного числа. Главное значение аргумента. Формула Муавра. Извлечение комплексного корня n-ой степени. Формула Эйлера и её следствия.

Лекция 23.11.2018. "Основная" теорема алгебры. Теорема Безу. Разложение многочленов на неприводимые множители над действительными и над комплексными числами. Формулы Виета. Представление правильной дроби в виде суммы простейших. Векторы в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов (его алгебраические свойства). Базис в трехмерном пространстве. Ортогональный и ортонормированный базисы. Вычисление скалярного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе.

Лекция 30.11.2018. Матрица Грама базиса. Вычисление скалярного произведения в координатах. Правый базис. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Критерий коллинеарности двух векторов. Смешанное произведение векторов, его свойства. Вычисление смешанного произведения в координатах, заданных в ортонормированном базисе. Вычисление объема параллелепипеда. Критерий компланарности трех векторов. Прямоугольная декартова система координат. Радиус-вектор точки. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении, середина отрезка. Уравнение поверхности и его геометрический образ. Прямая и обратная задачи аналитической геометрии. Общее уравнение плоскости в пространстве. Теорема о том, что любое линейное уравнение первого порядка задает плоскость. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках. Направляющие косинусы.

Лекция 07.12.2018. Взаимное расположение плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Прямая в пространстве. Общие уравнения прямой. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой. Канонические уравнения прямой. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямых. Критерий принадлежности двух прямых одной плоскости. Вычислений расстояний: от точки до прямой и между двумя прямыми.

Напоминание: пересечение, объединение и разность множеств, их декартово произведение. Отображения множеств: cюръективность и инъективность. Биекция. Утверждение о биективности инъективного отображения на конечном множестве. Бинарное отношение на множестве. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности.

Лекция 14.12.2018. Фактормножество. Бинарные операции. Ассоциативные и коммутативные бинарные операции. Группоид и полугруппа. Моноид. Примеры. Обратимые элементы. Группа. Примеры групп: симметрическая группа, общая линейная группа, специальная линейная группа. Абелева группа. Подгруппа. Примеры. Гомоморфизм. Эпиморфизм и мономорфизм. Изоморфизм групп. Примеры. Порядок элемента. Таблица Кэли.

Лекция 11.01.2019. Циклическая группа. Утверждение о связи порядка элемента, порождающего циклическую группу, с порядком группы. Утверждение о том, что все циклические группы одного порядка изоморфны. Три свойства изоморфизма. Пример конечной циклической группы: вычеты. Таблица Кэли для вычетов по модулю 5. Прямое произведение групп. Подгруппа, порожденная подмножеством. Примеры групп: группа диэдра, знакопеременная группа, группа кватернионов. Замечание о том, какими бывают группы порядка восемь

Лекция 18.01.2019. Левый смежный класс по некоторой подгруппе. Индекс подгруппы. Теорема Лагранжа и её следствия. Нормальная подгруппа. Определение факторгруппы. Теорема о гомоморфизме.

Лекция 25.01.2019. Утверждение о том, что гомоморфизм инъективен тогда и только тогда, когда его ядро тривиально. Естественный гомоморфизм. Критерий нормальности. Утверждение о том, что нормальными подгруппами являются ядра гомоморфизмов и только они. Утверждение о том, какими могут быть подгруппы группы целых числе по сложению. Шифрование: схема Диффи-Хеллмана, cхема Эль-Гамаля.

Лекция 01.02.2019.
Шифрование: RSA. Теорема Кэли. Автоморфизмы и внутренние автоморфизмы. Центр группы. Утверждение о том, что центр группы является нормальной подгруппой. Утверждение о том, что факторгруппа группы по её центру изоморфна группе её внутренних автоморфизмов.
Определение кольца. Аддитивная группа кольца. Мультипликативная полугруппа кольца. Примеры колец: числовые кольца, полное матричное кольцо, кольцо вычетов, кольцо многочленов от одной переменной.
Подкольцо. Коммутативное кольцо.

Лекция 08.02.2019.
Делители нуля и обратимые элементы. Целостное кольцо. Критерий целостности для нетривиального коммутативного кольца с единицей. Поле, примеры полей.
Подполя: примеры.
Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя в кольце многочленов. Выражение для наибольшего общего делителя двух многочленов. Взаимная простота в кольце многочленов.
Двусторонний идеал. Главный идеал. Гомоморфизм колец. Факторкольцо. Лемма о том, что ядро гомоморфизма колец является идеалом. Теорема о гомоморфизме колец.

Лекция 15.02.2019. Характеристика поля. Простое подполе. Утверждение о том, каким будет простое подполе в зависимости от характеристики. Утверждение, что кольцо вычетов по модулю p является полем тогда и только тогда, когда p простое. Расширение поля. Поле рациональных дробей. Утверждение о том, когда факторколько кольца многочленов над полем само является полем (без доказательства). Расширение поля, получено путем присоединения элемента: примеры. Алгебраические элементы над полем.
Утверждение о том, что любое конечное поле может быть реализовано как факторкольцо кольца многочленов по идеалу, порожденному неприводимым многочленом (без доказательства).

Лекция 22.02.2019.
Утверждения о том, сколько элементов может быть в конечном поле и как устроены его подполя (без доказательства). Китайская теорема об остатках.
Определение линейного пространства. Примеры линейных пространств: арифметическое пространство, множество непрерывных на отрезке функций, пространство решений однородной СЛАУ. Простые следствия определения линейного пространства. Базис, размерность, координаты вектора в базисе, запись операций над векторами в координатах. Изоморфизм конечномерных векторных пространств. Матрица перехода от старого базиса к новому.

Лекция 01.03.2019.
Изменение координат вектора при изменении базиса. Утверждение о том, как меняется матрица перехода при двух последовательных переходах.
Подпространства в линейном пространстве. Примеры подпространств. Линейная оболочка конечного набора векторов. Ранг системы векторов. Утверждение о том, что ранг системы векторов равен рангу матрицы, составленной из столбцов их координат в некотором базисе (без доказательства).
Пересечение подпространств. Сумма и прямая сумма подпространств. Критерий того, что сумма подпространств является прямой. Утверждение о связи размерности суммы и пересечения подпространств.
Билинейные формы. Матрица билинейной формы.

Лекция 15.03.2019.
Формула для преобразования матрицы билинейной формы при замене базиса. Определение квадратичной формы и матрицы квадратичной формы. Связь билинейных и квадратичных форм. Формула для преобразования матрицы квадратичной формы при замене базиса. Теорема об инвариантности ранга квадратичной формы. Положительно (отрицательная) определенность квадратичной формы, знакопеременные квадратичные формы, критерий Сильвестра (формулировка) и его следствие. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Индексы инерции.

Лекция 22.03.2019. Линейные отображения линейных пространств, линейные операторы. Примеры. Матрица линейного отображения и матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного отображения при замене базисов. Утверждение о том, что действие линейного оператора в конечномерном пространстве полностью определяется матрицей линейного оператора.
Ядро и образ линейного отображения. Утверждение о связи размерностей ядра и образа линейного отображения.
Действия над линейными операторами.

Лекция 05.04.2019. Собственный вектор и собственное значение линейного оператора. Спектр. Характеристическое уравнение и характеристический многочлен квадратной матрицы. Инвариантность характеристического многочлена. Утверждение о том, что число принадлежит спектру тогда и только тогда, когда оно является корнем характеристического многочлена (над алгебраически замкнутым полем). Собственное подпространство. Алгебраическая и геометрическая кратности собственного значения и неравенство, их связывающее (без доказательства). След матрицы. След произведения матриц. Инвариантность следа матрицы линейного оператора. Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям. Утверждение о том, что матрица линейного оператора диагональна тогда и только тогда, когда записана в базисе из собственных векторов.

Лекция 17.04.2019.
Диагонализируемость. Критерий диагонализируемости (без доказательства). Достаточное условие диагонализируемости. Формулировка теоремы о жордановой нормальной форме матрицы оператора. Корневые подпространства. Формула для числа жордановых клеток заданного размера. Минимальный многочлен. Формулировка теоремы Гамильтона-Кэли.

Евклидово пространство, аксиомы скалярного произведения. Примеры. Норма вектора. Неравенство Коши–Буняковского.

Лекция 19.04.2019.
Инвариантные подпространства. Инвариантность собственных и корневых подпространств. Формулировка теоремы о расщеплении линейного оператора.
Неравенство треугольника. Ортогональная система. Линейная независимость ортогональной системы ненулевых векторов. Матричная запись скалярного произведения, матрица Грама. Ортогональный и ортонормированный базисы. Алгоритм ортогонализации Грама–Шмидта. Существование ортонормированного базиса в любом конечномерном пространстве.
Матрица Грама и её свойства: 1) симметричность и положительная определенность, 2) формула для преобразования матрицы Грама при переходе к новому базису, 3) положительность определителя, 4) инвариантность определителя матрицы Грама относительно процесса ортогонализации Грама–Шмидта.

Лекция 26.04.2019.
Ортогональное дополнение. Разложение евклидова пространства в прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Ортогональная проекция вектора на подпространство и ортогональная составляющая. Ортогональное дополнение к ортогональному дополнению.

Критерий невырожденности матрицы Грама. Формула для ортогональной проекции вектора на подпространство. Расстояние между вектором и подпространством. Формула для расстояния через определители матриц Грама.

Линейные формы (функционалы). Сопряженное пространство, ковекторы. Формула для преобразования координат ковектора при переходе к другому базису.

Лекция 17.05.2019.
Взаимные базисы. Изоморфизм между евклидовым пространством и сопряженным к нему. Биортогональные базисы. Сопряженный оператор.

Линейные операторы в евклидовом пространстве. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряженный (симметрический) оператор. Теорема о существовании сопряженного оператора. Формула для матрицы сопряженного оператора.
Самосопряженные (симметрические) операторы. Критерий самосопряженности оператора.

Лекция 24.05.2019.
Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям. Вещественность собственных значений самосопряженного оператора. Теорема о существовании для самосопряженного оператора ортонормированного базиса из собственных векторов.

Ортогональные матрицы и их четыре свойства. Ортогональные операторы. Теорема о том, что ортогональный оператор переводит ортонормированный базис в ортонормированный и верно обратное. Критерий ортогональности оператора, использующий его матрицу. Утверждение о том, что матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису ортогональна. Теорема о том, что для любой симметрической матрицы найдется подобная ей диагональная матрица, а подобие осуществляется с помощью ортогональной матрицы.

Лекция 31.05.2019.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием.
Канонический вид ортогонального оператора (без доказательства). Теорема Эйлера.
Утверждение о QR-разложении. Теорема о сингулярном разложении. Ядро и образ сопряженного оператора.
Теорема Фредгольма и альтернатива Фредгольма. Утверждение о полярном разложении.

Лекция 07.06.2019.
Алгебры: определения и примеры.
Тензор как полилинейная функция от векторных и ковекторных аргументов: определение и примеры.

Кривые второго порядка. Определение эллипса, гиперболы, параболы, их параметры (в частности, эксцентриситет). Вывод уравнения эллипса. Вывод уравнения параболы. Исследование алгебраического уравнения второго порядка от двух переменных.
Поверхности второго порядка (обзор). Поверхность вращения, цилиндрическая поверхность, линейчатая поверхность. Эллиптический цилиндр, гиперболический цилиндр, параболический цилиндр. Эллипсоид, однополостный гиперболоид.
Двуполостный гиперболоид, эллиптический параболоид, гиперболический параболоид. Нахождение прямолинейных образующих для однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида.

Лекция 14.06.2019. Полуторалинейная форма. Эрмитова форма. Утверждение о формуле для преобразования матрицы эрмитовой формы при переходе к другому базису. Эрмитово пространство. Унитарные матрицы. Свойства унитарных матриц.
Сопряженный оператор в эрмитовом пространстве. Самосопряженный оператор в эрмитовом пространстве. Эрмитовы матрицы. Свойства самосопряженного оператора в эрмитовом пространстве.

Унитарный оператор в эрмитовом пространстве. Свойства унитарного оператора. Канонический вид унитарного оператора. Утверждения о полярном и сингулярном разложении в эрмитовом пространстве (формулировка).


Консультации

Расписание консультаций (ассистенты и возможное время)

Группа Ассистент ПН ВТ СР ЧТ ПТ СБ
181 Руслан Лесютин 13:30 - 18:00
182 Анна Карбовская 12:10 - 16:30 10:30 - 15:10
183 Дарья Редникина 12:10 - 15:00 15:00 - 18:00
184 Тимофей Шунин 13:00 - 15:00
185 Анна Першина 15:00 - 19:30 12:00 - 18:00
186 Анна Михалева 15:00 - 18:00 13:30 - 16:30 13:30 - 15:00
Максим Рачинский 13:40 - 15:00 13:30 - 16:30 15:10 - 16:30

Запись на консультацию

Для посещения консультации нужно: 1) записаться и 2) отправить свой вопрос.
В случае, когда вопрос небольшой и конкретный, его можно задать ассистенту в онлайн режиме.

Выберите желаемое время и заполните форму.
Записаться можно к любому ассистенту, независимо от того, какая группа за ним закреплена.
В первое воскресенье после заполнения формы заявка будет обработана, и студенты будут оповещены о времени консультаций, которые состоятся на следующей неделе.

Форма для записи


Материалы

Контрольная работа / Модуль 1

Типовые задачи для подготовки к КР1

Список определений

Список вопросов с доказательством

Экзамен / Модуль 2

Типовые задачи для подготовки к экзамену

Список определений

Список вопросов с доказательством

Контрольная работа / Модуль 3

Типовые задачи для подготовки к КР3

Список определений

Список вопросов с доказательством

Коллоквиум / Модуль 4

Вопросы с доказательством за 1, 2, 3 модули

Вопросы с доказательством за 4 модуль

Список определений за 4 модуль

Экзамен / Модуль 4

Типовые задачи для подготовки к экзамену

Список определений


Пока не указано иное, содержимое этой страницы распространяется по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License